A CFD problémák leglényegesebb alapjai a Navier Stokes egyenletek, melyek leírnak bármilyen egyfázisú áramlást. Ezek az egyenletek egyszerűsíthetők a viszkozitást leíró tagokkal, így juthatunk el az Euler egyenletekig. További egyszerűsítéssel, a vorticity elhanyagolásával megkapjuk a teljes potenciálos egyenleteket, majd ezeket linearizálva eljuthatunk a linearizált potenciálos egyenletekig.
Az egyfázisú áramlásokat legáltalánosabb formában 5 db., helytől és időtől függő ismeretlen függvényre felírt megmaradási egyenlet segítségével írhatjuk le. Az alapegyenletek megmaradási tétel alakjának szépsége, hogy a tömeg, az impulzus és az energia megmaradását azonos matematikai formában kezeli, amely általánosan is értelmezhető:
A fenti képletben U egy megmaradó mennyiség (pl. tömeg) térfogati intenzitása (pl. tömegmegmaradásra vonatkozóan a sűrűség) a meghatározandó ismeretlen függvény. "A" jelöli a V térfogat határfelületét,
a megmaradó mennyiség felületi áramsűrűség vektora, amit ezután fluxusnak nevezünk (pl. tömegmegmaradásra vonatkozóan a sebességvektor és a sűrűség szorzata).
jelölik az adott megmaradó mennyiség térfogati és felületi forrásait. A térfogati forrás alatt az egységnyi térfogatban, egységnyi idő alatt keletkező megmaradó jellemzőt értjük (pl. energia megmaradás esetében hőforrás).
az idő szerinti parciális deriválást jelöli.
A megmaradási egyenlet azt fejezi ki, hogy a V térfogatban egységnyi idő alatt keletkező megmaradó jellemző felhalmozódhat a V térfogat belsejében és/vagy kiáramlik az A felületen keresztül.
Az
fluxus kétféle hatás eredőjeként áll elő:
.
konvektív fluxus, amely a folyadékmolekulák kollektív egyirányú mozgásának (áramlásának) következménye;
.
diffúzív (konduktív) fluxus, amely a folyadékmolekulák keveredésének következménye.
A fluxus egyes formáinak számításához célszerű bevezetni a megmaradó jellemző egységnyi tömegre vonatkoztatott F intenzitását, ami U és a sűrűség hányadosa:
.
a következő alakban számíthatók:
,
,
tehát a fluxus diffúzív része arányos F gradiensének ellentettjével, az arányossági tényező pedig G vezetési tényező.
Ezekkel a jelölésekkel újra felírjuk a megmaradási egyenletet:
F, G és S értelmezése mind az öt megmaradási tételben más és más. F egyes jelentései az alábbi táblázatból kiolvasható:
Egyenlet |
|
kontinuitás |
1 |
x-impulzus |
u |
y-impulzus |
v |
z-impulzus |
w |
energia |
e |
|
"e" az egységnyi tömegre jutó belső- és mozgási energia összege.
Az impulzuskomponensekre vonatkozó megmaradási egyenletekben felületi forrásként jelentkezik a nyomásból származó erő felületi intenzitása, amely az impulzuskomponensekre vonatkozó diffúzív fluxusokhoz adódik hozzá.
A megmaradó mennyiségekre felírt integrál egyenleteket összenyomható folyadékok esetében ki kell egészítenünk a folyadék termodinamikai állapotegyenletével, ami a nyomást mint sűrűség és hőmérséklet függvényét kifejező algebrai egyenletet jelent.
Megjegyzések:
- A Fluent szimulációs rendszer az energia megmaradási törvényt kissé átrendezett formában h entalpiára oldja meg.
- Összenyomhatatlan folyadékok áramlása esetén a tömeg megmaradási tétele (kontinuitási egyenlet) a sűrűségre közvetlenül nem oldható meg, ezért a kontinuitásból és a mozgásegyenletből levezetett un. nyomáskorrekciós egyenletet oldjuk meg a kontinuitási egyenlet helyett.
- Turbulencia modellek alkalmazása esetén a sebességkomponensek helyett azok időbeli átlagai szerepelnek a megmaradási egyenletekben, a molekuláris keveredés hatását kifejező G vezetési tényezőt pedig megnöveljük a turbulens sebességingadozás keverő hatását kifejező vezetési tényezővel.
A véges térfogatok módszerénél az áramlási tartományt felbontjuk véges számú térfogatelemre (cellára):
A Fluent rendszer a mezőváltozókat minden cella középpontjában tárolja, más pontokban a mezőváltozók értékeit a szomszédos cellák mezőváltozóiból interpolálja.
A véges térfogatok módszerének lényege, hogy a megmaradási egyenletek integrálását minden cellára (mint V-re és A-ra) elvégezzük, ezzel olyan egyenletrendszerhez jutunk, ami kapcsolatot teremt az egyes cellákba zárt megmaradó jellemző időbeli deriváltja valamint a határfelületeken értelmezett fluxusok és térfogati források között.
Állandósult áramlás esetén, ha térfogati források nincsenek a mezőváltozók eloszlásait csak a belső fluxusok eloszlása határozza meg.
A véges térfogat módszer fontos koncepciója a "konzervatívitás":
A numerikus differenciálás pontatlanságai csak a belső fluxusok értékében okozhatnak hibát. A megmaradó menyiségek áramait egyik szomszédos cellából a másikba konzekvens módon számítja a módszer a határoló falra integrált fluxusok alapján, így a teljes számítási tartományra értelmezett megmaradási egyenletek teljesülnek, csak a megmaradó mennyiségek belső megoszlásaiban lehet pontatlanság. A numerikus közelítések hibái nem működhetnek a megmaradó fizikai mennyiségek forrásaiként.
